题目

已知奇函数在上有意义，且在上是增函数，
(1)求满足不等式的实数的取值范围；
(2)设函数，若集合，集合 ，求

答案

(1) x < －1或0 < x < 1 (2) {m | m > 4－2}

解析

(1) f (－1) = －f (1) = 0，又f (x) 在 (0,+¥) 上是增函数，
∴  f (x) 在 (－¥,0) 上也是增函数，
∴ 由 f (x) < 0得x < －1或0 < x < 1.
(2) N =" {m" | f [g(q)] < 0} =" {m" | g(q) < －1或0 < g(q) < 1}，
M∩N =" {m" | g(q) < －1}……………3分
由g(q) < －1得 sin ²q+ m cos q－2m < －1 Þ cos ²q－m cos q + 2m－2 > 0 恒成立
Þ(cos ²q－m cos q + 2m－2)_min > 0
然后换元构造函数设t = cosq，h(t) = cos ²q－m cos q + 2m－2
= t ²－mt + 2m－2 ,求其最值即可
(1)依题意，f (－1) = －f (1) = 0，又f (x) 在 (0,+¥) 上是增函数，
∴  f (x) 在 (－¥,0) 上也是增函数，
∴ 由 f (x) < 0得x < －1或0 < x < 1…………… 2分
(2)N =" {m" | f [g(q)] < 0} =" {m" | g(q) < －1或0 < g(q) < 1}，
M∩N =" {m" | g(q) < －1}……………3分
由g(q) < －1得 sin ²q+ m cos q－2m < －1 Þ cos ²q－m cos q + 2m－2 > 0 恒成立
Þ(cos ²q－m cos q + 2m－2)_min > 0…………………4分
设t = cosq，h(t) = cos ²q－m cos q + 2m－2 = t ²－mt + 2m－2
= (t－) ²－+ 2m－2,
∵  cosq∈[－1,1] Þt∈[－1,1]，h(t) 的对称轴为 t = …5分
1°当 > 1，即 m > 2 时，h(t) 在 [－1,1] 为减函数
∴  h(t)_min =" h(1)" = m－1 > 0 Þm > 1 Þm > 2…………………7分
2°当 －1≤≤1，即 －2≤m≤2 时，
∴  h(t)_min = h() = －+ 2m－2 > 0 Þ4－2< m < 4 + 2 
Þ4－2< m≤2…………9分
3°当 < －1，即 m < －2 时，h(t) 在 [－1,1] 为增函数
∴  h(t)_min = h(－1) = 3m－1 > 0 Þ m > 无解………………11分
综上，m > 4－2 Þ M∩N =" {m" | m > 4－2}……………12分
另解：. 解：依题意，f (－1) = －f (1) = 0，又f (x) 在 (0,+¥) 上是增函数，
∴  f (x) 在 (－¥,0) 上也是增函数，
∴ 由 f (x) < 0得x < －1或0 < x < 1……………… 2分
∴  N =" {m" | f [g(q)] < 0} =" {m" | g(q) < －1或0 < g(q) < 1}，
M∩N =" {m" | g(q) < －1}…………………3分
由g(q) < －1得 sin ²q+ m cos q－2m < －1 Þ cos ²q－m cos q + 2m－2 > 0 恒成立
Þ(cos ²q－m cos q + 2m－2)_min > 0
设t = cosq，h(t) = cos ²q－m cos q + 2m－2 = t ²－mt + 2m－2 = (t－) ²－+ 2m－2
∵  cosq∈[－1,1] Þt∈[－1,1]，h(t) 的对称轴为 t = ，△= m ²－8m + 8 …4分
1°当 △< 0，即 4－2< m < 4 + 2时，h(t) > 0 恒成立.…………………6分
2°当 △≥0，即 m≤4－2或 m≥4 + 2时，………7分
由 h(t) > 0 在 [－1,1] 上恒成立
∴ Þ m≥2 Þ m≥4 + 2………………11分
综上，m > 4－2 Þ M∩N =" {m" | m > 4－2}