题目

已知定义在上的奇函数， 当时， 
．
（1）求函数在上的解析式;
（2）试用函数单调性定义证明：在上是减函数;
（3）要使方程，在上恒有实数解，求实数的取值范围.

答案

（1）（2）见解析（3）

解析

（1）
（2）证：设 则

在上是减函数.
（3）方程在上恒有实数解，
记，则为上的单调递减函数.

由于为上奇函数，故当时
而
 即 .