已知f(x)=loga1-x1+x(a＞0

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知f(x)=loga

1-x
1+x
(a＞0，且a≠1)
（1）求f(
1
2012
)+f(-
1
2012
)的值；
（2）当x∈（-t，t]（其中t∈（-1，1），且t为常数）时，f（x）是否存在最小值，如果存在求出最小值；如果不存在，请说明理由；
（3）当f（x-2）+f（4-3x）≥0时，求满足不等式f（x-2）+f（4-3x）≥0的x的范围．

答案

（1）令

1-x
1+x
＞0，解得-1＜x＜1，即函数f（x）的定义域为（-1，1），关于原点对称．
又f（-x）=loga
1+x
1-x
=loga(
1-x
1+x
)-1=-loga
1-x
1+x
=-f（x），
所以f（x）为奇函数，
所以f(
1
2012
)+f(-
1
2012
)=f(
1
2012
)-f(
1
2012
)=0．
（2）设-1＜x1＜x2＜1，
则
1-x1
1+x1
-
1-x2
1+x2
=
2(x2-x1)
(1+x1)(1+x2)
．
因为-1＜x1＜x2＜1，
所以
1-x1
1+x1
-
1-x2
1+x2
＞0，即
1-x1
1+x1
＞
1-x2
1+x2
．
所以
1-x
1+x
在（-1，1）上为减函数，也在（-t，t]上为减函数，
①当a＞1时，y=logat单调递增，t=
1-x
1+x
单调递减，所以y=loga
1-x
1+x
在（-t，t]上单调递减，
此时f（x）存在最小值为f（t）=loga
1-t
1+t
．
②当0＜a＜1时，y=logat单调递减，t=
1-x
1+x
单调递减，所以y=loga
1-x
1+x
在（-t，t]上单调递增，
此时f（x）不存在最小值．
综①②知，当a＞1时，f（x）存在最小值为f（t）=loga
1-t
1+t
．
（3）f（x-2）+f（4-3x）≥0可化为f（x-2）≥-f（4-3x），
由（1）知f（x）为奇函数，所以f（x-2）≥f（3x-4），
①当a＞1时，由（2）知f（x）在（-1，1）上为减函数，
所以

解析

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