题目

已知函数f（x）=

ex+m

ex+1

，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一个三角形的边长，则实数m的取值范围是（　　）

A．[ 1 2 ，1]

B．[0，1]

C．[1，2]

D．[ 1 2 ，2]

答案

由题意可得，f（a）+f（b）＞f（c）对任意的a、b、c∈R恒成立，
∵函数f（x）=

ex+m

ex+1

=

ex+1+m-1

ex+1

=1+

m-1

ex+1

，
∴当m≥1时，函数f（x）在R上是减函数，函数的值域为（1，m）；
故f（a）+f（b）＞2，f（c）＜m，∴m≤2 ①．
当m＜1时，函数f（x）在R上是增函数，函数的值域为（m，1）；
故f（a）+f（b）＞2m，f（c）＜1，
∴2m≥1，m≥

1

2

②．
由①②可得

1

2

≤m≤2，
故选：D．

解析