已知函数f(x)=x+1x

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f(x)=

答案

（1）函数f（x）在[-2，-1）上是增函数，
证明：∵当x∈[-2，1）时，f（x）=x+
1
x
，
∴任取x1，x2∈[-2，1），且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，1＜x1x2，
∴1-
1
x1x2
＞0，
∴f（x1）-f（x2）=x1+
1
x1
-(x2+
1
x2
)=（x1-x2）(1-
1
x1x2
)＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在[-2，-1）上是增函数；
（2）由（1）可知，f（x）=x+
1
x
在[-2，-1）上是增函数，
∴当x∈[-2，-1）时，f（-2）≤f（x）＜f（-1），
∴f（x）∈[-
5
2
，-2)，
当x∈[
1
2
，2]时，f（x）=x-
1
x
，
∵y=x在[
1
2
，2]上为单调递增函数，y=
1
x
在[
1
2
，2]上为单调递减函数，
∴f（x）在[
1
2
，2]上为单调递增函数，
∴x∈[
1
2
，2]时，f（
1
2
）≤f（x）≤f（2），
∴f（x）∈[-
3
2
，
3
2
]，
当x∈[-1，
1
2
）时，f（x）=-2，
综上所述，f（x）的值域为A=[-
5
2
，-2]∪[-
3
2
，
3
2
]；
（3）∵函数g（x）=ax-2，x∈[-2，2]，
①当a=0时，g（x）=-2，
对于任意x1∈[-2，2]，f（x1）∈[-
5
2
，-2]∪[-
3
2
，
3
2
]，
∴不存在x0∈[-2，2]，使得g（x0）=f（x1）成立，
∴a=0不符合题意；
②当a≠0时，设g（x）的值域为B，
∴B=[-2|a|-2，2|a|-2]，
∵对于任意x1∈[-2，2]，总存在x0∈[-2，2]，使g（x0）=f（x1）成立，
∴A⊆B，
∴

解析

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