题目

设a＞0，f（x）=

ex

a

+

a

ex

是R上的偶函数，
（1）求a的值；
（2）若x∈（0，+∞）时，此时函数f（x）的图象上是否存在在两点，使这两点的连线与轴平行？并说明理由．

答案

（1）因为f（x）=

ex

a

+

a

ex

是R上的偶函数，
所以f（-x）=f（x）在R上恒成立，
所以

e-x

a

+

a

e-x

=

ex

a

+

a

ex

，
等价于(a-

1

a

)(ex-

1

ex

)在R上恒成立，
所以a=1．
（2）设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
则有f(x2)-f(x1)=(ex2-ex1)+

ex2-ex1

ex1ex2

由于e＞1，且x₁＜x₂，
所以f（x₂）＞f（x₁），
函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
若x∈（0，+∞）时，函数f（x）的图象上是不存在在两点，使这两点的连线与轴平行

解析