题目

已知函数f(x)=

4x+1

2ax

(a∈R)是偶函数，g（x）=t•2^x+4，
（1）求a的值；
（2）当t=-2时，求f（x）＜g（x）的解集；
（3）若函数f（x）的图象总在g（x）的图象上方，求实数t的取值范围．

答案

（1）由f（x）是偶函数，得f（x）=f（-x），即

4x+1

2ax

=

4-x+1

2-ax

，
化简得2^2ax=4^x，故a=1；
（2）f（x）＜g（x）即

4x+1

2x

＜-2•2x+4，亦即3•4^x-4•2^x+1＜0，
所以

1

3

＜2x＜1，即log2

1

3

＜x＜0，
所以不等式f（x）＜g（x）的解集为{x|log2

1

3

＜x＜0}；
（3）因为函数f（x）的图象总在g（x）的图象上方，
所以f（x）＞g（x），即

4x+1

2x

＞t•2x+4，得t＜

1

4x

-

4

2x

+1，
∵

1

4x

-

4

2x

+1=(

1

2x

-2)2-3≥-3，∴t＜-3；
故实数t的取值范围为：t＜-3．

解析