设f（x）的定义域（0，+∞），对于任意正实数m

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

设f（x）的定义域（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（m•n）=f（m）+f（n），且当x＞1时，f(x)＞0，f(

1
2
)=-1．
（1）求f（2）的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解关于x的不等式f(x)≥2+f(
p
x-4
)，其中p＞-1．

答案

（1）令m=n=1，则f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0（2分）
令 m=2，n=

1
2
，则 f(1)=f(2×
1
2
)=f(2)+f(
1
2
)，
∴f（2）=1（4分）
（2）设0＜x1＜x2，则
x2
x1
＞1
∵当x＞1时，f（x）＞0
∴f(
x2
x1
)＞0（6分）
f(x2)=f(x1×
x2
x1
)=f(x1)+f(
x2
x1
)＞f(x1)（9分）
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数（10分）
（3）∵f（2）=1得2=f（2）+f（2）=f（4）
又f(x)≥2+f(
p
x-4
)
可化为：f(x)≥f(
4p
x-4
)
由y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，
原不等式可化为：

解析

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