（选作题）定义在（-1，1）上的函数y=f（x）

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

（选作题）定义在（-1，1）上的函数y=f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)=f(

x+y
1+xy
)．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）如果当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0，求证：f（x）在（-1，1）上是单调递减函数；
（3）在（2）的条件下解不等式：f(x+
1
2
)+f(
1
1-x
)＞0．

答案

（1）f（x）为奇函数．
令x=y=0，代入f(x)+f(y)=f(

x+y
1+xy
)有，
  2f（0）=f（0），f（0）=0；
令y=-x，代入f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)得：
  f（x）+f（-x）=f（0）=0，（xy≠-1，由定义域易知其满足）
∴f（x）=-f（-x），得证．
（2）设-1＜x1＜x2＜1，
f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f(
x1-x2
1-x1•x2
)，
由题设知，必有-1＜
x1-x2
1-x1•x2
＜1
又x1-x2＜0，由x1，x2∈（-1，1），可得-x1•x2∈（-1，1），所以1-x1•x2＞0，
所以-1＜
x1-x2
1-x1•x2
＜0，又x∈（-1，0）时f（x）＞0，
∴f（x1）-f（x2）=f(
x1-x2
1-x1•x2
)＞0
∴f（x1）＞f（x2）
即f（x）在（-1，1）上是减函数；
（3）∵f(x+
1
2
)+f(
1
1-x
)＞0，f（x）为奇函数，
∴f(x+
1
2
) ＞f(
1
x-1
)，函数y=f（x）定义在（-1，1）上，f（x）在（-1，1）上是单调递减函数，
∴

解析

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