已知函数f （x）=ex，g（x）=lnx，h（

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f （x）=ex，g（x）=lnx，h（x）=kx+b．
（1）当b=0时，若对∀x∈（0，+∞）均有f （x）≥h（x）≥g（x）成立，求实数k的取值范围；
（2）设h（x）的图象为函数f （x）和g（x）图象的公共切线，切点分别为（x1，f （x1））和（x2，g（x2）），其中x1＞0．
①求证：x1＞1＞x2；
②若当x≥x1时，关于x的不等式ax2-x+xe-x+1≤0恒成立，求实数a的取值范围．

答案

（1）依题意对∀x∈（0，+∞）均有ex≥kx≥lnx成立
即对任意∀x∈（0，+∞）均有

ex
x
≥k≥
lnx
x
成立…（1分）
∴（
ex
x
）min≥k≥(
lnx
x
)max
因为（
ex
x
）=
ex(x-1)
x2
故y=
ex
x
在（0，1）上减，（1，+∞）增
∴（
ex
x
）min=e
又(
lnx
x
)=
1-lnx
x2
故y=
lnx
x
在（0，e）上减，（e，+∞）增
∴(
lnx
x
)max=
1
e
即k的取值范围是[
1
e
，e]
（2）由题知：h（x）即为y-e x1=e x1（x-x1）即y=e x1•x+e x1-x1 e x1
也为y=lnx2=
1
x2
(x-x2)即y=
1
x2
x+lnx2-1
∴

解析

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