设函数f（x）=2x2+2xx2+1，函

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

设函数f（x）=

2x2+2x
x2+1
，函数g（x）=ax2+5x-2a．
（1）求f（x）在[0，1]上的值域；
（2）若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围．

答案

（1）y=

2x2+2x
x2+1
=
2(x2+1)+2x-2
x2+1
=2+
2(x-1)
x2+1
，
令x-1=t，则x=t+1，t∈[-1，0]，y=2+
2t
t2+2t+2
，
当t=0时，y=2；当t∈[-1，0），y=2+
2
t+
2
t
+2
，
由对勾函数的单调性得y∈[0，2），故函数在[0，1]上的值域是[0，2]；
（2）f（x）的值域是[0，2]，要g（x0）=f（x1）成立，则[0，2]⊆{y|y=g（x），x∈[0，1]}
①当a=0时，x∈[0，1]，g（x）=5x∈[0，5]，符合题意；
②当a＞0时，函数g（x）的对称轴为x=-
5
2a
＜0，故当x∈[0，1]时，函数为增函数，则g（x）的值域是[-2a，5-a]，由条件知[0，2]⊆[-2a，5-a]，∴

解析

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