题目

已知函数f（x）=x+

1

x

．
（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）判断f（x）在（0，1]上的单调性并加以证明．

答案

（1）奇函数
定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称
又∵f（-x）=-x+

1

-x

=-(x+

1

x

)=-f(x)
∴函数f（x）=x+

1

x

为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数
（2）f（x）在（0，1]上的单调递减
0＜x₁＜x₂≤1，则0＜x₁x₂＜1，x₁-x₂＜0
∴f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+(

1

x1

-

1

x2

)
=(x1-x2)+(

x2-x1

x1x2

)=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
所以f（x）在（0，1]上的是单调递减函数

解析