已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）且满足f（-1）=0对任意实数x，都有f（x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时，有f(x)≤(

x+1
2
)2
（1）求f（1）的值；
（2）证明：a＞0、c＞0；
（3）当x∈[-1，1]时，g（x）=f（x）-mx（m∈R）是单调的，求证：m≤0或m≥1．

答案

（1）由条件可知x≤f(x)≤(

x+1
2
)2对任意实数x∈（0、2）恒成立，取x=1得1≤f（1）≤1，故f（1）=1．
（2）由f（-1）=0得a-b+c=0，故b=
1
2
，a+c=
1
2
，
由对任意实数x，都有f（x）-x≥0得ax2+（b-1）x+c≥0，
所以

解析

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