题目

已知函数f（x）=

3

x-1

（x∈[2，6]）．试判断此函数在x∈[2，6]上的单调性并求函数在x∈[2，6]上的最大值和最小值．

答案

设x₁、x₂是区间[2，6]上的任意两个实数，且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

3

x1-1

-

3

x2-1

=

3[(x2-1)-(x1-1)]

(x1-1)(x2-1)

=

3(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

．
由2≤x₁＜x₂≤6，得x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以函数f（x）=

3

x-1

是区间[2，6]上的减函数．
因此，函数f（x）=

3

x-1

在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值，
最大值f（2）=3，最小值f（6）=

3

5

．

解析