题目

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），对一切x、y＞0，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x＞0时，f（x）＜0．
（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（2）f(2)=-

1

2

时，解不等式f（ax+4）＞-1．

答案

（1）任取0＜x₁＜x₂＜+∞，则x₂-x₁＞0
∴f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）
=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）
=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）
=f（x₂-x₁）＜0
∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．

（2）∵f（2）+f（2）=-1
∴f（ax+4）＞f（2+2）=f（4）
由（1）知f（x）在（0，+∞）上为减函数，∴0＜ax+4＜4
当a＞0时，解得-

4

a

＜x＜0
当a＜0时，解得0＜x＜-

4

a

当a=0时，无解

解析