如果函数f（x）在区间D上有定义，且对任意x1，

难度：一般 题型：解答题 来源：崇文区一模

题目

如果函数f（x）在区间D上有定义，且对任意x1，x2∈D，x1≠x2，都有f(

x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
，则称函数f（x）在区间D上的“凹函数”．
（Ⅰ）已知f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R），判断f（x）是否是“凹函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）已知f（x）=ln（1+ex）-x是定义域在R上的减函数，且A、B、C是其图象上三个不同的点，求证：△ABC是钝角三角形．

答案

（Ⅰ）函数f（x）是凹函数，证明如下：设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f(x1)+f(x2)-2f(

x1+x2
2
)
=ln(1+ex1)+ln(1+ex2)-x1-x2-2[ln(1+e
x1+x2
2
)-
x1+x2
2
]
=ln(1+ex1)(1+ex2)-ln(1+e
x1+x2
2
)2
=ln(1+ex1+ex2+ex1+x2)-ln(1+2e
x1+x2
2
+ex1+x2)
∵ex1＞0，ex2＞0，且x1≠x2
∴ex1+ex2＞2

解析

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