题目

已知定义域为R的函数f（x）满足f（1）=1，f′（x）是f（x）的导函数，若∀x∈R，f′(x)＜

1

2

，则不等式f(x)＜

x

2

+

1

2

的解集为 ______．

答案

令F（x）=f（x）-

1

2

x，则
F"（x）=f"（x）-

1

2

＜0
∴函数F（x）在R上单调递减函数
∵f(x)＜

x

2

+

1

2

∴f（x）-

1

2

x＜f（1）-

1

2

即F（x）＜F（1）
根据函数F（x）在R上单调递减函数可知x＞1
故答案为：（1，+∞）

解析