题目

已知函数f（x）=

1

x2

．
（1）判断f（x）在区间（0，+∞）的单调性，并用定义证明；
（2）写出函数f（x）=

1

x2

的单调区间．

答案

（1）f（x）在区间（0，+∞）为单调减函数．证明如下：
设0＜x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=

1

x12

-

1

x22

=

x22-x12

x12•x22

=

(x2+x2)(x2-x1)

x12•x22

．
因为0＜x₁＜x₂，所以（x₁x₂）²＞0，x₂-x₁＞0，x₂+x₁＞0，即

(x2+x2)(x2-x1)

x12•x22

＞0．
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即所以f（x₁）＞f（x₂），f（x）在区间（0，+∞）为单调减函数．
（2）f（x）=

1

x2

 的单调减区间（0，+∞）；f（x）=

1

x2

的单调增区间（-∞，0）．

解析