题目

定义在（-1，1）上的函数f（x），（i）对任意x，y∈（-1，1）都有：f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)；（ii）当x∈（-1，0）时，f（x）＞0，回答下列问题．
（1）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由．
（2）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性，并说明理由．

答案

（1）令x=y=0⇒f（0）=0，令y=-x，则f（x）+f（-x）=0⇒f（-x）=-f（x）⇒f（x）在（-1，1）上是奇函数．
（2）设0＜x₁＜x₂＜1，则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(

x1-x2

1-x1x2

)，而x₁-x₂＜0，0＜x1x2＜1⇒

x1-x2

1-x1x2

＜0⇒f(

x1-x2

1-x1x2

)＞0．即当x₁＜x₂时，f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（0，1）上单调递减．

解析