题目

探究函数f（x）=x+

4

x

，x∈（0，+∞）取最小值时x的值，列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.02	4.04	4.3	5	5.8	7.57	…

请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题：
（1）函数（x）=x+

4

x

（x＞0）在区间（0，2）上递减；函数f（x）在区间______上递增．当x=______ 时，y_min=______．
（2）证明：函数f（x）=x+

4

x

（x＞0）在区间（0，2）上递减．

答案

①由表格可知，函数f（x）在[2，+∞）上递增，当x=2时函数取得最小值4．
故答案为[2，+∞）；2；4．
②证明：设x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂，则
f(x1)-f(x2)=(x1+

4

x1

)-(x2+

4

x2

)
=(x1-x2)+(

4

x1

-

4

x2

)=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

∵x₁，x₂∈（0，2），x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂∈（0，4）
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴f(x)=x+

4

x

在区间（0，2）上递减．

解析