题目

证明函数f（x）=x+

4

x

在区间（0，2]上是减函数．

答案

证明：设∀x₁、x₂，且0＜x₁＜x₂≤2，
f(x1)-f(x2)=(x1+

4

x1

)-(x2+

4

x2

)=(x1-x2)+

4(x2-x1)

x1x2

=(x1-x2)(1-

4

x1x2

)，
∵0＜x₁≤2，0＜x₂≤2，x₁＜x₂，
∴0＜x₁x₂＜4，∴

1

x1x2

＞

1

4

，∴

4

x1x2

＞1，
∴1-

4

x1x2

＜0，且x₁-x₂＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）在（0，2]上为减函数．

解析