已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，而且

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，而且f（1）=-1，若m、n∈[-1，1]，m+n≠0时有 

f(m)+f(n)
m+n
＜0．
（1）证明f（x）在[-1，1]上为减函数；
（2）解不等式：f(x+
1
2
)＞f(
3
2
-x2)；
（3）若f（x）≤t2-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

答案

证明：（1）任取-1≤x1＜x2≤1，则
f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=

f(x1)+f(-x2)
x1-x2
•(x1-x2)
∵-1≤x1＜x2≤1，∴x1+（-x2）≠0，
由已知
f(x1)+f(-x2)
x1-x2
＜0，又x1-x2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x）在[-1，1]上为减函数；
（2）∵f（x）在[-1，1]上为减函数，
故有

解析

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