题目

函数f（x）的定义域为（0，+∞），对于任意的正实数m，n，都有f（mn）=f（m）+f（n）成立，当x＞1时，f（x）＜0，证明f（x）在（0，+∞）上是减函数．

答案

设0＜x₁＜x₂
∵f（mn）=f（m）+f（n），即f（mn）-f（m）=f（n）
∴f（x₂）-f（x₁）=f(

x2

x1

)
因为0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1
而当x＞1时，f（x）＜0，从而f（x₂）＜f（x₁）
于是f（x）在（0，+∞）上是减函数．

解析