题目

函数f(x)=

x

x+1

的单调增区间是______．

答案

函数f(x)=

x

x+1

的单调增区间是（-∞，-1），（-1，+∞）．
事实上，
函数f(x)=

x

x+1

的定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞）．
当x₁＜x₂＜-1时，
f(x1)-f(x2)=

x1

x1+1

-

x2

x2+1

=

x1(x2+1)-x2(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=

x1x2+x1-x1x2-x2

(x1+1)(x2+1)

=

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

．
∵x₁＜x₂＜-1，∴x₁+1＜0，x₂+1＜0，x₁-x₂＜0．
∴

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

＜0．
则f（x₁）＜f（x₂）．
所以函数f(x)=

x

x+1

在区间（-∞，-1）上为增函数；
当x₁＞x₂＞-1时，
f(x1)-f(x2)=

x1

x1+1

-

x2

x2+1

=

x1(x2+1)-x2(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=

x1x2+x1-x1x2-x2

(x1+1)(x2+1)

=

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

．
∵x₁＞x₂＞-1，∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＞0．
∴

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

＞0．
则f（x₁）＞f（x₂）．
所以函数f(x)=

x

x+1

在区间（-1，+∞）上为增函数．
综上，函数f(x)=

x

x+1

的单调增区间是（-∞，-1），（-1，+∞）．
故答案为（-∞，-1），（-1，+∞）．

解析