题目

设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x，有f（1-x）=x²-3x+3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-（1+2m）x+1（m∈R）在[

3

2

，+∞)上的最小值为-2，求m的值．

答案

（1）令t=1-x，则x=1-t
∵f（1-x）=x²-3x+3．
∴f（t）=（1-t）²-3（1-t）+3=t²+t+1．
即f（x）=x²+x+1．
（2）由（1）得g（x）=f（x）-（1+2m）x+1=x²-2mx+2=（x-m）²+2-m²，x∈[

3

2

，+∞)
若m≥

3

2

，则当x=m时，g（x）取最小值2-m²=-2，
解得m=2，或m=-2（舍去）
若m＜

3

2

，则当x=

3

2

时，g（x）取最小值

17

4

-3m=-2，
解得m=

25

12

（舍去）
综上可得：m=2

解析