题目

在探究函数f(x)=x3+

3

x

，x∈(-∞，0)∪(0，+∞)的最值中，
（1）先探究函数y=f（x）在区间（0，+∞）上的最值，列表如下：

x	…	0.1	0.2	0.5	0.7	0.9	1	1.1	1.2	1.3	2	3	4	5	…
y	…	30.00	15.01	6.13	4.63	4.06	4	4.06	4.23	4.50	9.50	28	64.75	125.6	…

观察表中y值随x值变化的趋势，知x=______时，f（x）有最小值为______；
（2）再依次探究函数y=f（x）在区间（-∞，0）上以及区间（-∞，0）∪（0，+∞）上的最值情况（是否有最值？是最大值或最小值？），请写出你的探究结论，不必证明；
（3）请证明你在（1）所得到的结论是正确的．

答案

（1）观察表中y值随x值变化的趋势，知x=1时，f（x）有最小值为4；
（2）由奇函数的对称性可知：函数y=f（x）在区间（-∞，0）上有最大值-4，此时x=-1．
∵函数y=f（x）在区间（-∞，0）∪（0，+∞）上的值域是（-∞，-4]∪[4，+∞），
∴函数y=f（x）在区间（-∞，0）∪（0，+∞）上的既不存在最大值，也不存在最小值；
（3）当x＞0时，f′(x)=3x2-

3

x2

=

3(x2+1)(x+1)(x-1)

x2

，
令f^′（x）=0，解得x=1．
当0＜x＜1时，f^′（x）＜0，函数f（x）在此区间内单调递减；
当1＜x时，f′（x）＞0，函数f（x）在此区间内单调递增．
∴函数f（x）在x=1时取得极小值，也即最小值，且f（1）=4．

解析