题目

已知函数f（x）=

1-2x

2x+1

请用定义证明f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．

答案

设x₁＜x₂，由函数f（x）=

1-2x

2x+1

可得 f（x₁）-f（x₂）=

1-2x1

2x1+1

-

1-2x2

2x2+1

=

(1-2x1)(2x2+1)-(1-2x2)(2x1+1)

(2x1+1)(2x2+1)

=

2•(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

．
由题设可得2x2-2x1＞0，2x1＞0，2x2＞0，∴

2•(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，
 即f（x₁）-f（x₂），故有f（x₁）＞f（x₂），故 f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．

解析