题目

已知函数f(x)=x+

a

x

，且f（1）=2
（1）求实数a的值；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）判断函数f（x）在（1，+∞）上是增函数还是减函数？并用定义证明．

答案

（1）由题意f（1）=1+a=2，∴a=1
（2）f（x）是奇函数，因为f(-x)=-x+

1

-x

=-f(x)，故其是奇函数；
（3）函数f（x）在（1，+∞）上是单调增函数，下用定义法证明
作取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=x₁-x₂+

1

x1

-

1

x2

=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，1-

1

x1x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即函数f（x）在（1，+∞）上是单调增函数，

解析