（理）已知函数f(x)=2+1a-1

难度：一般 题型：解答题 来源：长宁区一模

题目

（理）已知函数f(x)=2+

1
a
-
1
a2x
，实数a∈R且a≠0．
（1）设mn＞0，判断函数f（x）在[m，n]上的单调性，并说明理由；
（2）设0＜m＜n且a＞0时，f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求n-m的最大值；
（3）若不等式|a2f（x）|≤2x对x≥1恒成立，求a的范围．

答案

（1）设m≤x1＜x2≤n，则f(x1)-f(x2)=-

1
a2x1
+
1
a2x2
=
x1-x2
a2x1x2
，
∵mn＞0，m≤x1＜x2≤n，∴x1x2＞0，x1-x2＜0，∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），因此函数f（x）在[m，n]上的单调递增．
（2）由（1）及f（x）的定义域和值域都是[m，n]得f（m）=m，f（n）=n，
因此m，n是方程2+
1
a
-
1
a2x
=x的两个不相等的正数根，
等价于方程a2x2-（2a2+a）x+1=0有两个不等的正数根，
即△=(2a2+a)2-4a2＞0且x1+x2=
2a2+a
a2
＞0且x1x2=
1
a2
＞0，
解得a＞
1
2
，∴n-m=
1
a

解析

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