（理科）已知二次函数f（x）=x2+ax+b（a

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

（理科）已知二次函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的定义域为[-1，1]，且|f（x）|的最大值为M．
（Ⅰ）试证明|1+b|≤M；
（Ⅱ）试证明M≥

1
2
；
（Ⅲ）当M=
1
2
时，试求出f（x）的解析式．

答案

（Ⅰ）证明：∵M≥|f（-1）|=|1-a+b|，M≥|f（1）|=|1+a+b|
∴2M≥|1-a+b|+|1+a+b|≥|（1-a+b）+（1+a+b）|=2|1+b|
∴M≥|1+b|
（Ⅱ）证明：依题意，M≥|f（-1）|，M≥|f（0）|，M≥|f（1）|
又|f（-1）|=|1-a+b|，|f（1）|=|1+a+b|，|f（0）|=|b|
∴4M≥|f（-1）|+|f（0）|+|f（1）|=|1-a+b|+2|b|+|1+a+b|≥|（1-a+b）-2b+（1+a+b）|=2
∴M≥

1
2

（Ⅲ）依M=
1
2
时，|f(0)|=|b|≤
1
2
，-
1
2
≤b≤
1
2
①同理-
1
2
≤1+a+b≤
1
2
②-
1
2
≤1-a+b≤
1
2
③
②+③得：-
3
2
≤b≤-
1
2
④由①、④得：b=-
1
2
．
当b=-
1
2
时，分别代入②、③得：

解析

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