定义在实数集上的函数f（x）满足下列条件：①f（

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

定义在实数集上的函数f（x）满足下列条件：
①f（x）是偶函数；②对任意非负实数x、y，都有f（x+y）=2f（x）f（y）；③当x＞0时，恒有f(x)＞

1
2
．
（1）求f（0）的值；
（2）证明：f（x）在[0，+∞）上是单调增函数；
（3）若f（3）=2，解关于a的不等式f（a2-2a-9）≤8．

答案

（1）令x=0，y=1，
则f（1）=2f（0）•f（1），
∵f(1)＞

1
2
，
∴f(0)=
1
2
．…（4分）
（2）∵当x＞0时，恒有f(x)＞
1
2
，又f（x）是偶函数，
∴当x＜0时，f(x)=f(-x)＞
1
2
，
又f(0)=
1
2
，f（x）＞0恒成立．…（6分）
设0≤x1＜x2，则x2-x1＞0，f(x2-x1)＞
1
2
，
∴f（x2）=2f（x1）f（x2-x1）＞f（x1），…（9分）
∴f（x）在[0，+∞）上是单调增函数．…（10分）
（3）令x=y=3，则f（6）=2f2（3）=8，…（12分）
∴f（a2-2a-9）=f（|a2-2a-9|）≤f（6），
由f（x）在[0，+∞）上是单调增函数，
得|a2-2a-9|≤6，…（14分）
即

解析

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