已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，若任

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，若任意的a、b∈[-1，1]，且a+b≠0，都有

f(a)+f(b)
a+b
＞0．
（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论；
（2）解不等式：f（x+1）＜f（
1
x-1
）．

答案

（1）任取x1、x2∈[-1，1]，且x1＜x2，则-x2∈[-1，1]．又f（x）是奇函数，于是
f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）
=

f(x1)+f(-x2)
x1+(-x2)
•（x1-x2）．
据已知
f(x1)+f(-x2)
x1+(-x2)
＞0，x1-x2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在[-1，1]上是增函数．
（2）由f（x）在[-1，1]上是增函数知：

解析

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