题目

设函数f（x）=axⁿ（1-x）+b（x＞0），n为正整数，a，b为常数，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y=1
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的最大值．

答案

（1）∵函数f（x）=-axⁿ（x-1）+b=axⁿ-axⁿ⁺¹+b，
∴f"（x）=nax^n-1-（n+1）axⁿ，
由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=1，
可得f"（1）=-1，f（1）=0，
∴a=1，b=0．
（2）由（1）可知f（x）=xⁿ-xⁿ⁺¹，
故f′（x）=-（n+1）xn（x-

n

n+1

），令f"（x）=0，得x=

n

n+1

当x∈（0，

n

n+1

），f′（x）＞0，当x∈（

n

n+1

，+∞），f′（x）＜0，
故函数f（x）在（0，

n

n+1

）上单调递增；在（

n

n+1

，+∞）上单调递减，
∴f（x）在（0，+∞）上最大值为f（

n

n+1

）=(

n

n+1

)n(1-

n

n+1

)=

nn

(n+1)n+1

解析