题目

已知函数f(x)=

1

x2

+1．
（1）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性并证明；
（2）求f（x）在区间[1，3]上的最大值和最小值．

答案

（1）函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．（2分）
证明如下：
设x₁、x₂是区间（0，+∞）上任意两个实数，且x₁＜x₂，则（1分）f（x₁）-f（x₂）=(

1

x12

+1)-(

1

x22

+1)=

(x1+x2)(x2-x1)

(x1x2)2

（3分）
∵x₂＞x₁＞0
∴x₁+x₂＞0、x₂-x₁＞0、（x₁x₂）²＞0（1分）
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．（1分）
（2）由（1）知函数f（x）在区间[1，3]上是减函数，（1分）
所以当x=1时，取最大值，最大值为f（1）=2
当x=3时，取最小值，最小值为f(3)=

10

9

（3分）

解析