题目

已知函数 f(x)=

1

2

x2-2alnx+(a-2)x，a∈R．
（Ⅰ）当 a=1 时，求函数 f（x） 的最小值；
（Ⅱ）当 a≤0 时，讨论函数 f（x） 的单调性；
（Ⅲ）是否存在实数a，对任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a，恒成立，若存在求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

答案

（Ⅰ）由题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）
当a=1 时，f′(x)=

x2-x-2

x

=

(x-2)(x+1)

x

…（2分）
∴当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，x∈（2，+∞），f"（x）＞0．
∴f（x）在x=2时取得极小值且为最小值，其最小值为 f（2）=-2ln2…（4分）
（Ⅱ）∵f′(x)=x-

2a

x

+(a-2)=

x2+(a-2)x-2a

x

=

(x-2)(x+a)

x

，…（5分）
∴（1）当-2＜a≤0时，若x∈（0，-a）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（-a，2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
（2）当a=-2时，x∈（0，+∞）时，f（x）为增函数；
（3）当a＜-2时，x∈（0，2）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（2，-a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（-a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数…（9分）
（Ⅲ）假设存在实数a使得对任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立，
不妨设0＜x₁＜x₂，只要

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a，即：f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁
令g（x）=f（x）-ax，只要 g（x）在（0，+∞）为增函数
又函数g(x)=

1

2

x2-2alnx-2x．
考查函数g′(x)=x-

2a

x

-2=

x2-2x-2a

x

=

(x-1)2-1-2a

x

…（10分）
要使g"（x）≥0在（0，+∞）恒成立，只要-1-2a≥0，即a≤-

1

2

，…（12分）
故存在实数a∈(-∞，-

1

2

]时，对任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立，…（14分）

解析