题目

已知：函数f（x）=ax+

b

x

+c（a、b、c是常数）是奇函数，且满足f（1）=

5

2

，f（2）=

17

4

，
（Ⅰ）求a、b、c的值；
（Ⅱ）试判断函数f（x）在区间（0，

1

2

）上的单调性并说明理由；
（Ⅲ）试求函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值．

答案

（Ⅰ）∵函数f（x）是奇函数，则f（-x）+f（x）=0
即-ax-

b

x

+c+ax+

b

x

+c=0∴c=0
由f（1）=

5

2

，f（2）=

17

4

，得a+b=

5

2

，2a+

b

2

=

17

4

解得a=2，b=

1

2

∴a=2，b=

1

2

，c=0
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x+

1

2x

，∴f′（x）=2-

1

2x2

当x∈（0，

1

2

）时，0＜2x²＜

1

2

，

1

2x2

＞2
∴f′（x）＜0，即函数f（x）在区间（0，

1

2

）上为减函数．
（Ⅲ）由f′（x）=2-

1

2x2

=0，x＞0得x=

1

2

∵当x＞

1

2

，

1

2x2

＜2，
∴f′（x）＞0，
即函数f（x）在区间（

1

2

，+∞）上为增函数．在（0，

1

2

）上为减函数．
所以f（x）的最小值=f（

1

2

）=2．

解析