已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），当x＞1

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且f（x•y）=f（x）+f（y）
（1）求f（1）；
（3）证明f（x）在定义域上是增函数；
（3）如果f(

1
3
)=-1，求满足不等式f(x)-f(
1
x-2
)≥2的x的范围．

答案

（1）∵f（x•y）=f（x）+f（y），
∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），
∴f（1）=0．
（2）设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，
则

x2
x1
＞1，
∴f（ 
x2
x1
 ）＞0，
∴f（x1）-f（x2）=f（x1）-f（
x2
x1
•x1）=f（x1）-f（
x2
x1
 ）-f（x1）=-f（ 
x2
x1
 ）＜0
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）令x=
1
3
，y=1得，f（
1
3
×1）=f（
1
3
）+f（1），∴f（1）=0．
令x=3，y=
1
3
得，f（1）=f（3×
1
3
）=f（3）+f（
1
3
），
∵f(
1
3
)=-1，∴f（3）=1．
令x=y=3得，f（9）=f（3）+f（3）=2，
∴f（x）-f（
1
x-2
）≥f（9），f（x）≥f（
9
x-2
）
∴

解析

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