题目

已知函数f（x）=log₂

3x-1

3x+1

，（x∈（-∞，-

1

3

）∪（

1

3

，+∞））
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数f（x）在区间（

1

3

，+∞）上的单调性．

答案

（1）函数f（x）是奇函数．证明如下
证明：由题意可得函数的定义域关于原点对称
因为f（-x）=log₂

-3x-1

-3x+1

=log₂

3x+1

3x-1

=log_2（

3x-1

3x+1

）^-1=-f（x），
所以函数f（x）是奇函数．
（2）f（x）在区间（

1

3

，+∞）上的单调递减，证明如下
证明：令g（x）=

3x-1

3x+1

=

x- 1 3

x+ 1 3

=1-

4 3

x+ 1 3

设

1

3

＜x1＜x2，则g（x₁）-g（x₂）=1-

4 3

x1+ 1 3

-(1-

4 3

x2+ 1 3

)
=

4 3

x2+ 1 3

-

4 3

x1+ 1 3

=

4 3 (x1-x2)

( 1 3 +x1)( 1 3 +x2)

∵

1

3

＜x1＜x2，则x₁-x₂＜0，(x1+

1

3

)(x2+

1

3

) ＞0
∴即g（x₁）＜g（x₂）
∴g（x）在（

1

3

，+∞）上单调递减
由于y=log₂g（x）在（0，+∞）单调递增，由复合函数的单调性可知y=log2

3x+1

3x-1

在（

1

3

，+∞）单调递减

解析