题目

设f（x）是定义在实数集R上的函数且满足f（x+2）=f（x+1）-f（x）．已知f（1）=lg

3

2

，f（2）=lg15．
（1）通过计算f（3），f（4），…，由此猜测函数的周期T，并据周期函数的定义给出证明；
（2）求f（2009）的值．

答案

解（1）f（1）=lg

3

2

f（2）=lg15
f（3）=f（2）-f（1）=lg15-（lg3-lg2）=lg5+lg2=1 
f（4）=f（3）-f（2）=1-lg15 …+3
f（5）=f（4）-f（3）=1-lg15-1=-lg15 …+4
f（6）=f（5）-f（4）=-lg15-（1-lg15）=-1…+5
f（7）=f（6）-f（5）=-1+lg15=lg

3

2

…+6
猜测：T=6…+7
证明：f（x+2）=f（x+1）-f（x）
f（x+3）=f（x+2）-f（x+1）=f（x+1）-f（x）-f（x+1）=-f（x）
f（x+6）=-f（x+3）=f（x）
所以 f（x）是一个周期为6的函数
（2）因为f（2009）=f（6×334+5）=f（5）=-lg15

解析