二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＜0）对一

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＜0）对一切x∈R都有f（2+x）=f（2-x），且f（1）=

7
2
，f（x）的最大值为
9
2
．
（1）求a和b，c的值；
（2）解不等式f[logc(x2+x+
1
2
)]＜f[logc(2x2-x+
5
8
)]．

答案

（1）∵f（2+x）=f（2-x）
∴二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＜0）的图象关于直线x=2对称．
∴f（2）=4a+2b+c=

9
2
①且f（1）=a+b+c=
7
2
②，-
b
2a
=2③，联立①②③解得：
a=-1，b=4，c=
1
2
．
（2）由（1）知f（x）在（-∞，2]上递增，在[2，+∞）上递减且c=
1
2
．
∴log
1
2
(x2+x+
1
2
)=log
1
2
[(x+
1
2
)2+
1
4
]≤2，log
1
2
(2x2-x+
5
8
)=log
1
2
[2(x-
1
4
)2+
1
2
]≤1，
由原不等式得：log
1
2
(x2+x+
1
2
)＜log
1
2
(2x2-x+
5
8
)⇔

解析

相关题目