已知函数f（x）=2x2-3x+1，g（x）=k

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f（x）=2x2-3x+1，g（x）=ksin（x-

π
6
），（k≠0）．
（1）问α去何值时，方程f（sinx）=α-sinx在[0，2π]上有两解；
（2）若对任意的x1∈[0，3]，总存在x2∈[0，3]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数k的取值范围？

答案

（1）2sin2x-3sinx+1=a-sinx化为2sin2x-2sinx+1=a在[0，2π]上有两解
换t=sinx则2t2-2t+1=a在[-1，1]上解的情况如下：
①当在（-1，1）上只有一个解或相等解，x有两解（5-a）（1-a）＜0或△=0
∴a∈（1，5）或a=

1
2

②当t=-1时，x有惟一解x=
3π
2

③当t=1时，x有惟一解x=
π
2

故a∈（1，5）或a=
1
2
；
（2）当x1∈[0，3]时，f（x1）值域为[-
1
8
，10]，
当x2∈[0，3]时，x2-
π
6
∈[-
π
6
，3-
π
6
]，有sin（x2-
π
6
）∈[-
1
2
，1]
①当k＞0时，g（x2）值域为[-
1
2
k，k]
②当k＜0时，g（x2）值域为[k，-
1
2
k]
而依据题意有f（x1）的值域是g（x2）值域的子集
∴

解析

相关题目