题目

已知函数f（x），g（x），在R上有定义，对任意的x，y∈R有f（x-y）=f（x）g（y）-g（x）f（y）且f（1）=0
（1）求证：f（x）为奇函数
（2）若f（1）=f（2），求g（1）+g（-1）的值．

答案

解（1）对x∈R，令x=u-v则有
f（-x）=f（v-u）=f（v）g（u）-g（v）f（u）
=f（u-v）=-[f（u）g（v）-g（u）f（v）]=-f（x）；
∴f（x）为奇函数
（2）f（2）=f[1-（-1）]
=f（1）g（-1）-g（1）f（-1）
=f（1）g（-1）+g（1）f（1）
=f（1）[g（-1）+g（1）]
∵f（2）=f（1）≠0，
∴g（-1）+g（1）=1．

解析