题目

已知函数为奇函数.
（1）若，求函数的解析式；
（2）当时，不等式在上恒成立，求实数的最小值；
（3）当时，求证：函数在上至多有一个零点.

答案

（1）；（2） （3）见解析

解析

试题分析：（1）由函数为奇函数,得恒成立,可求的值；
由，从而可得函数的解析式；
（2）当时，可判断其在区间上为单调函数，最大值为，要使不等式在上恒成立，只要不小于函数在区间区间上的最大值即可；
（3）当时，，要证在上至多有一个零点，
只要证在上是单调函数即可,对此可用函数单调性的定义来解决.
试题解析：解:（1）∵函数为奇函数，
∴，即，
∴， 2分
又，
∴
∴函数的解析式为.4分
（2），.
∵函数在均单调递增，
∴函数在单调递增，  6分
∴当时，．  7分
∵不等式在上恒成立，
∴，
∴实数的最小值为．  9分
（3）证明：，
设，

  11分
∵，
∴
∵，即，
∴，又，
∴，即
∴函数在单调递减，  13分
又，结合函数图像知函数在上至多有一个零点. 14分