已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2+a

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3，其中a为实数．
（1）设t＞0为常数，求函数f（x）在区间[t，t+2]上的最小值；
（2）若对一切x∈（0，+∞），不等式2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

答案

（1）f"（x）=lnx+1，
当x∈(0，

1
e
)，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(
1
e
，+∞)，f′(x)＞0，f(x)单调递增
①0＜t＜t+2＜
1
e
，没有最小值；
②0＜t＜
1
e
＜t+2，即0＜t＜
1
e
时，f(x)min=f(
1
e
)=-
1
e
；
③
1
e
≤t＜t+2，即t≥
1
e
时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt；（5分）
所以f(x)min=

解析

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