已知函数f(x)=2x+alnx-2(a＞

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f(x)=

2
x
+alnx-2(a＞0)．
（1）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，试求a的取值范围；
（2）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e-1，e]上恰有两个零点，求实数b的取值范围．

答案

（1）f′(x)=-

2
x2
+
a
x
=
ax-2
x2
，由f′（x）＞0解得x＞
2
a
，
由f′（x）＜0得0＜x＜
2
a

∴f（x）在区间(
2
a
，+∞)上单调递增，在区间(0，
2
a
)上单调递减
∴当x=
2
a
时，函数f（x）取得最小值ymin=a+aln
2
a
-2
由于对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，
所以a+aln
2
a
-2＞2(a-1)
解得0＜a＜
2
e
，故a的取值范围是(0，
2
e
)
（2）依题意得g(x)=
2
x
+lnx+x-2-b，则g′(x)=
x2+x-2
x2

由g′（x）＞0解得x＞1；由g′（x）＜0解得0＜x＜1
所以g（x）在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，+∞）上为增函数．
又因为函数g（x）在区间[e-1，e]上有两个零点，
所以

解析

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