题目

已知f（x）=ax³+3x²-x+1，a∈R．
（Ⅰ）当a=-3时，求证：f（x）=在R上是减函数；
（Ⅱ）如果对∀x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立，求实数a的取值范围．

答案

（Ⅰ）当a=-3时，f（x）=-3x³+3x²-x+1，
∵f′（x）=-9x²+6x-1=-（3x-1）²≤0，
∴f（x）在R上是减函数；
（Ⅱ）∵∀x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立，
即∀x∈R不等式3ax²+6x-1≤4x恒成立，
∴∀x∈R不等式3ax²+2x-1≤0恒成立，
当a≥0时，∀x∈R，3ax²+2x-1≤0不恒成立，
当a＜0时，∀x∈R不等式3ax²+2x-1≤0恒成立，
即△=4+12a≤0，
∴a≤-

1

3

．

解析