已知数列an满足a1=1，an+1=an+n（n

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知数列an满足a1=1，an+1=an+n（n∈N*），数列bn满足b1=1，（n+2）bn+1=nbn（n∈N*），数列cn满足c1=1，

c1
1
+
c2
22
+…+
cn
n2
=
cn+1
n+1
（n∈N*）
（1）求数列an、bn的通项公式；
（2）求数列cn的通项公式；
（3）是否存在正整数k使得k(an+
7
2
)-
3
bn+1
＞cn+6n+15对一切n∈N*恒成立，若存在求k的最小值；若不存在请说明理由．

答案

（1）∵a1=1，an+1=an+n（n∈N*）
∴n≥2，an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=(n-1)+(n-2)+…+1+1=

n(n-1)
2
+1=
1
2
n2-
1
2
n+1
∴an=
1
2
n2-
1
2
n+1（n∈N*），（n+2）bn+1=nbn（n∈N*）
∴
bn+1
bn
=
n
n+2
，
∴n≥2，bn=
bn
bn-1
•
bn-1
bn-2
…
b2
b1
•b1=
n-1
n+1
•
n-2
n
…
1
3
•1=
2
n(n+1)
，
∴bn=
2
n(n+1)
（n∈N*）

（2）c1=1，
c1
1
+
c2
22
+…+
cn
n2
=
cn+1
n+1

∴
c1
1
+
c2
22
+…+
cn-1
(n-1)2
=
cn
n
（n≥2）（n∈N*）
两式相减得：
cn
n2
=
cn+1
n+1
-
cn
n

∴
cn+1
cn
=
(n+1)2
n2
，n=1，
c1
1
=
c2
2
得出c2=2，n≥2
∴cn=
cn
cn-1
•
cn-1
cn-2
…
c3
c2
•c2=
n2
(n-1)2
•
(n-1)2
(n-2)2
…
32
22
•2=
n2
2

cn=

解析

相关题目