题目

已知函数f（x）=e^x-x
（1）证明：对一切x∈R，都有f（x）≥1
（2）证明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln（n+1）（n∈N^*）．

答案

（1）由f′（x）=e^x-1=0，得x=0
∵当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0
∴f（x）在（-∞，0）上为减函数；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数
∴[f（x）]_min=f（0）=1
∴x∈R时，f（x）≥1
（2）由（1）可知：当x＞0时，e^x＞x+1，即x＞ln（x+1）
则1＞ln2，

1

2

＞ln(

1

2

+1)，，

1

n

＞ln(

1

n

+1)
1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln2+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n+1

n

=ln（n+1）

解析