已知y=f（x）（x∈D，D为此函数的定义域）同

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知y=f（x）（x∈D，D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数f（x）在D内单调递增或单调递减；②如果存在区间[a，b]⊆D，使函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，那么称y=f（x），x∈D为闭函数．请解答以下问题：
（1）判断函数f（x）=1+x-x2（x∈（0，+∞））是否为闭函数？并说明理由；
（2）求证：函数y=-x3（x∈[-1，1]）为闭函数；
（3）若y=k+

答案

（1）函数f（x）在区间(-∞，
1
2
]上单调递减，在(
1
2
，+∞)上单调递增；
所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数．
（2）先证y=-x3符合条件①：对于任意x1，x2∈[-1，1]，且x1＜x2，
有y1-y2=x23-x13=(x2-x1)(x22+x1x2+x12)=(x2-x1)[(x2+
1
2
x1)2+
3
4
x12]＞0，
∴y1＞y2，故y=-x3是R上的减函数．
又因为y=-x3在[-1，1]上的值域是[-1，1]．
所以函数y=-x3（x∈[-1，1]）为闭函数；
（3）易知y=k+

解析

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