题目

已知函数f(x)=2a-

1

3x+1

（a∈R）．
（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；
（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并证明．

答案

（1）∵函数f（x）为奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0，
即：(2a-

1

3-x+1

)+(2a-

1

3x+1

)=0，
则有：4a-

3x

3-x3x+13x

-

1

3x+1

=0，
即：4a-

3x+1

3x+1

=0，
∴4a-1=0，a=

1

4

；
（2）f（x）在R上是增函数，证明如下：
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=(2a-

1

3x1+1

)-(2a-

1

3x2+1

)=

1

3x2+1

-

1

3x1+1

=

3x1-3x2

(3x1+1)(3x2+1)

．
∵y=3^x在R上是增函数，且x₁＜x₂，
∴3x1＜3x2，
即：3x1-3x2＜0．
又3^x＞0，
∴3x1+1＞0，3x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即：f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在R上是增函数．

解析